پاسخ فعالیت صفحه 50 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: این مسئله به اثبات قضیه‌ی «در یک دایره، وترهای مساوی، کمان‌های مساوی نظیر خود را ایجاد می‌کنند» می‌پردازد. برای اثبات از هم‌نهشتی مثلث‌ها استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** در دایره‌ای به مرکز O، داریم: $ AB = CD $ * **حکم (Conclusion):** باید ثابت کنیم: $ \overarc{AB} = \overarc{CD} $ **اثبات:** برای اثبات، مرکز دایره (O) را به نقاط A, B, C, D وصل می‌کنیم تا دو مثلث $OAB$ و $OCD$ تشکیل شود. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ OA = OC $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۲) $ OB = OD $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۳) $ AB = CD $ | **(ضلع)** طبق فرض مسئله. | | ۴) $ \triangle OAB \cong \triangle OCD $ | به حالت هم‌نهشتی **سه ضلع (ض‌ض‌ض)**. | | ۵) $ \angle AOB = \angle COD $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که زوایای متناظر آنها (زوایای مرکزی) با هم برابرند. | | ۶) $ \overarc{AB} = \overarc{CD} $ | در یک دایره، کمان‌های مقابل به زاویه‌های مرکزی برابر، با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: این مسئله عکس قضیه‌ی قبلی است و بیان می‌کند که «در یک دایره، کمان‌های مساوی، وترهای مساوی نظیر خود را دارند». این اثبات نیز با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها انجام می‌شود. * **فرض (Hypothesis):** در دایره‌ای به مرکز O، داریم: $ \overarc{AB} = \overarc{CD} $ * **حکم (Conclusion):** باید ثابت کنیم: $ AB = CD $ **اثبات:** ابتدا مرکز دایره (O) را به نقاط A, B, C, D وصل می‌کنیم تا دو مثلث $OAB$ و $OCD$ تشکیل شود. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ \angle AOB = \angle COD $ | **(زاویه)** طبق فرض کمان‌ها برابرند و در یک دایره، زاویه‌های مرکزی مقابل به کمان‌های برابر، با هم برابرند. | | ۲) $ OA = OC $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۳) $ OB = OD $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۴) $ \triangle OAB \cong \triangle OCD $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**. | | ۵) $ AB = CD $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها (وترهای دایره) با هم برابرند. |